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Estado de Minas MATEMáTICA

Os números de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras e sua aplicações na Matemática


postado em 20/09/2019 14:00 / atualizado em 20/09/2019 20:21

O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos e aplicados na Matemática. Ele é utilizado na geometria e na trigonometria. Criado na antiguidade pelo matemático grego Pitágoras de Samos (570 a.C. - 495 a.C.), o teorema só pode ser aplicado no triângulo retângulo e descreve que "a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa" ou seja:

a²=b²+c² sendo,

a: hipotenusa -  o maior lado de um triângulo retângulo e o lado oposto ao ângulo reto.

b e c: catetos - outros dois lados do triangulo.

Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a outro colorário do teorema: "em qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa é maior que qualquer um dos catetos, mas menor que a soma deles."

Demonstrações

Apesar de existirem centenas de demonstrações do teorema, não se sabe ao certo qual foi a utilizada por Pitágoras. Seu primeiro registro foi na obra "Os Elementos" do também grego Euclides por volta de 300 a.C.

A recíproca do teorema também é verdadeira. Isso significa que se num triângulo o quadrado em um dos lados for igual à soma dos quadrados construídos sobre os dois lados restantes do triângulo, o ângulo formado pelos dois lados restantes do triângulo é um ângulo reto ou com 90°.

Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o teorema de Pitágoras. Na geometria cartesiana, muito usada em ciências e engenharia, todos os cálculos que envolvem relações espaciais e trigonometria têm como base este teorema. É possível utilizar o teorema de Pitágoras em todos os polígonos, pois eles podem ser divididos em triângulos e esses em triângulos retângulos. E por extensão, em todos os poliedros.

Incomensurabilidade

Pitágoras sabia na época que seu teorema tinha uma falha: quando os catetos do triângulo eram iguais, seu teorema não funcionava, pois não haveria uma medida racional para a hipotenusa - era a incomensurabilidade. A solução só veio 25 séculos depois, no século XIX, com a introdução do conjunto dos números irracionais na matemática. Por exemplo, se cada cateto tiver a medida 1, a hipotenusa será um número irracional: 1² 1²=a² => 2=a² => 2=a

Pitágoras de Samos: homem ou lenda?

Apesar de ser místico, Pitágoras acreditava que todas as coisas são números e o processo de libertação da alma seria resultante de um esforço basicamente intelectual. A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, baseada em provas deduzíveis.

Pitágoras, dizia-se, era muito bonito. Seus discípulos desconfiavam que ele era, na verdade, o deus Apolo. Enquanto os filósofos de Mileto acreditavam que a causa de tudo era um elemento físico ou o infinito de Anaximandro, o pensador defendia que os números eram o motivo e o princípio de tudo.  
Pitágoras:
Pitágoras: "o princípio de tudo é o número" (foto: Pintura de Rafael Sanzio)

Pitágoras percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e talvez a Índia e a Pérsia, onde acumulou diversos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. Ele já acreditava que a Terra era redonda e que girava ao redor do Sol. O matemático foi contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé.

Quando retornou a Samos, foi perseguido pelo governante da cidade e teve que mudar para a ilha de Crotona na Itália. Lá fundou a Escola Pitagórica, a primeira "Universidade" do mundo, com seus seguidores. Preocupado em disseminar suas ideias, ele teria dito "quem fala semeia, quem escuta colhe". Apesar disso, pessoas de Crotona inconformadas com a escola, a destruiram e chegaram a matar diversos discípulos dele. Após esses trágicos acontecimentos, Pitágoras fugiu para a região sul da Itália e morreu na cidade de Metaponto, em 495 a.C.

Pitágoras foi o primeiro matemático puro. Entretanto é difícil separar o homem real da lenda, já que todas as informações sobre ele foram escritas quase cem anos após sua morte. O certo é que suas contribuições foram inúmeras para a humanidade.

Artigo de Matemática do Percurso Pré-Vestibular e Enem.

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