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Estado de Minas MATEMÁTICA

O homem que calculava e as maravilhas da matemática


postado em 26/06/2015 10:58 / atualizado em 26/06/2015 14:11

"A companhia dos sábios, ó Rei, é para mim o mais caro tesouro! O homem só vale pelo que sabe. Saber é poder" - respondeu Beremiz Samir ao califa Al-Motacém, quando foi oferecida uma recompensa pelas suas proezas no reino da Persia. Beremiz é um matemático persa do séc. XIII, personagem principal do livro "O homem que calculava" de Malba Tahan ou o escritor brasileiro e matemático Julio Cesar de Mello e Sousa.

Quando Julio Cesar criou o pseudônimo Malba Tahan, ele acreditava que ninguém levaria a sério seus contos árabes se o escritor fosse brasileiro. Não imaginava que criaria um livro de valor pedagógico reconhecido internacionalmente e que venderia mais de 2 milhões de exemplares somente no Brasil. O escritor Jorge Luiz Borges, colocava o "O homem que calculava" como um dos mais notáveis livros da humanidade.

O problema do Xadrez - parábolas para demonstrar o uso da matemática.(foto: Internet)
O problema do Xadrez - parábolas para demonstrar o uso da matemática. (foto: Internet)

O enredo

O livro narra as aventuras e proezas matemáticas do calculista persa Beremiz Samir na Bagdá do século XIII.
Em Bagdá, Beremiz rapidamente torna-se famoso e muito requisitado tanto por pessoas comuns quanto por nobres, despertando a simpatia de uns e a inveja de outros. Até mesmo o califa ouve falar de Beremiz e concede-lhe uma audiência. Para testar a capacidade de Beremiz, o califa prepara, então, uma audiência onde o calculista seria avaliado por sete sábios.

Na obra, o matemático conceitua e explica de modo muito simples diversos problemas, quebra-cabeças e curiosidades da matemática.

O problema dos 35 camelos

Os 35 camelos - um dos trechos mais famosos da obra.(foto: Editorial Limusa - Divulgação)
Os 35 camelos - um dos trechos mais famosos da obra. (foto: Editorial Limusa - Divulgação)

Nesta passagem, Beremiz – o homem que calculava – e seu colega de jornada encontraram três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos.

Por entre pragas e impropérios gritavam, furiosos:

- Não pode ser!

- Isto é um roubo!

- Não aceito!

O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.

- Somos irmãos – esclareceu o mais velho – e recebemos como heranças esses 35 camelos. Segundo vontade de nosso pai devo receber a metade, o meu irmão Hamed uma terça parte e o mais moço, Harin, deve receber apenas a nona parte do lote de camelos. Contudo, não sabemos como realizar a partilha, visto que a mesma não é exata.

- É muito simples – falou o Homem que Calculava. Encarrego-me de realizar, com justiça, a divisão se me permitirem que junte aos 35 camelos da herança este belo animal, pertencente a meu amigo de jornada, que nos trouxe até aqui.

E, assim foi feito.

- Agora – disse Beremiz – de posse dos 36 camelos, farei a divisão justa e exata.

Voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:

- Deverias receber a metade de 35, ou seja, 17, 5. Receberás a metade de 36, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.

E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:

- E tu, deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, ou seja, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.

Por fim, disse ao mais novo:

- Tu, segundo a vontade de teu pai, deverias receber a nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, ou seja, 4. Teu lucro foi igualmente notável.

E, concluiu com segurança e serenidade:

- Pela vantajosa divisão realizada, couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo, e 4 ao terceiro, o que dá um resultado (18+12+4) de 34 camelos. Dos 36 camelos, sobraram, portanto, dois. Um pertence a meu amigo de jornada. O outro, cabe por direito a mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da herança!

- Sois inteligente, ó Estrangeiro! – exclamou o mais velho dos irmãos. Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e equidade!

Solução do Problema

O total de 35 camelos, de acordo com o enunciado da história, deve ser repartido, pelos três herdeiros, do seguinte modo:

  • O mais velho deveria receber a metade da herança, isto é, 17 camelos e meio.
  • O segundo deveria receber um terço da herança, isto é, 11 camelos e dois terços.
  • O terceiro, mais moço, deveria receber um nono da herança, isto é, 3 camelos e oito nonos. Feita a partilha, de acordo com as determinações do testador, haveria uma sobra.

17 e 1/2 + 11 e 2/3 + 3 e 8/9 = 33 e 1/18

Observe que a soma das três partes não é igual a 35, mas sim a 33 e 1/18. Há, portanto, uma sobra que seria de um camelo e 17/18 de camelo.

A fração 17/18 exprime a soma 1/2 + 1/3 + 1/9, frações que representam pequenas sobras. Aumentando-­se de 1/2 a parte do primeiro herdeiro, este passaria a receber a conta certa de 18 camelos; aumentando-­se de 1/3 a parte do segundo, este passaria a receber um número exato de 12 aumentando­ se de 1/9 a parte do terceiro herdeiro, este receberia exatos quatro camelos. Observe porém que consumidas com esse aumento as três pequenas sobras, ainda há um camelo fora da partilha.

Como fazer esse aumento das partes de cada herdeiro?

Esse aumento foi feito admitindo­-se que o total de camelos não era 356, mas 36 camelos (com o acréscimo de 1 ao dividendo).

Mas, sendo o dividendo 36, a sobra passaria a ser de dois camelos.

Tudo resultou, em resumo, do fato seguinte: Houve um erro do testador.

A metade de um todo, mais a terça parte desse todo, mais um nono desse todo, não é igual ao todo. Vejam:

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18

Para completar o todo, falta, ainda, 1/18 desse todo. O todo, no caso, é a herança dos 35 camelos.
1/18 de 35, é igual a 35/18

A fração 35/18 é igual a 1 e 17/18

Conclusão feita a partilha, de acordo com o testador, ainda haveria uma sobra de 1 e 17/18.
Beremiz, com o artifício empregado, distribuiu os 17/18 pelos três herdeiros (aumentando a parte de cada um) e ficou com a parte inteira da fração excedente.

Artigo do Percurso Pré-vestibular e Enem.

 

Fonte: TAHAN, Malba, O Homem que Calculava. Rio de Janeiro: Record, 2007.

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